三个数相加的基本不等式如何推导

三个数相加的基本不等式如何推导

基本不等式是主要应用于求某些函数的值及证明的不等式。其表达为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

基本不等式的四种形式：

1、a2+b2≧2ab(a，b∈R)

2、ab≦(a2+b2)/2(a，b∈R)

3、a+b≧2√ab(a，b∈R﹢)

4、ab≦[(a+b)/2]2(a，b∈R﹢)

若有y=x1*x2*x3.....Xn 且x1+x2+x3+...+Xn=常数P,则Y的大值为((x1+x2+x3+.....+Xn)/n)^n

经常会用到的不等式的基本性质：ab,bc→ac;

ab →a+cb+c;

ab,c0 → acbc;

ab,c0→acbc;

ab0,cd0 → acbd;

ab,ab0 → 1/a1/b;

ab0 → a^nb^n;

基本不等式：√(ab)≤(a+b)/2

既然如此那，可以变为 a^2-2ab+b^2 ≥ 0

a^2+b^2 ≥ 2ab

ab≤a与b的平均数的平方

绝对值不等式公式：

| |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b|

| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|

证明方式可利用向量，把a、b 当成向量，利用三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边。

柯西不等式：

设a1,a2,…an,b1,b2…bn均是实数，则有(a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…an^2)*(b1^2+b2^2+…bn^2) 当且仅当ai=λbi(λ为常数，i=1,2.3,…n)时取等号。

排序不等式：

设a1,a2,…an；b1,b2…bn均是实数，且a1≥a2≥a3≥…≥an,b1≥b2≥b3≥…≥bn;则有a1b1+a2b2+…+anbn（顺序和）≥a1b2+a2b1+a3b3+…+aibj+…+anbm（乱序和）≥a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1（逆序和）,仅当a1=a2=a3=…an,b1=b2=b3=…=bn时等号成立。

不等式的四个性质公式:

性质1:假设ab,bc,既然如此那，ac(不等式的传递性).

性质2:假设ab,既然如此那，a+cb+c(不等式的可加性).

性质3:假设ab,c0,既然如此那，acbc;假设ab,c0,既然如此那，acb,cd,既然如此那，a+cb+d